设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象经过点(−2,0),(23,0),如图所示,(1)求f(x)的解析式;(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.

问题描述:

设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象经过点(−2,0),(

2
3
,0),如图所示,

(1)求f(x)的解析式;
(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.

(1)∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的图象经过点(-2,0),(

2
3
,0),
−2+
2
3
=−
2b
3a
−2×
2
3
c
3a
b=2a
c=−4a

∴f(x)=ax3+2ax2-4ax,
由图象可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(−2,
2
3
)
上单调递增,在(
2
3
,+∞)
上单调递减,
由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1
∴f(x)=-x3-2x2+4x
(2)要使对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,
只需f(x)min≥m2-14m即可.
由(1)可知函数y=f(x)在[-3,-2)上单调递减,在(−2,
2
3
)
上单调递增,在(
2
3
,3]
上单调递减
且f(-2)=-8,f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8
∴f(x)min=f(3)=-33(11分)-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.
答案解析:(1)求出y=f'(x),因为导函数图象经过(-2,0)和(
2
3
,0),代入即可求出a、b、c之间的关系式,再根据图象可知函数的单调性,而f(x)极小值为-8可得f(-2)=-8,解出即可得到a、b、c的值;
(2)根据函数增减性求出函数在区间[-3,3]的最小值大于等于m2-14m,即可求出m的范围.
考试点:利用导数研究函数的极值;函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题.
知识点:考查学生会用待定系数法求函数的解析式,会利用导数求函数极值,理解函数恒成立时所取的条件.