简单的向量证明题OC=aOA+bOB ,a+b=1,证明A、B、C共线
问题描述：
简单的向量证明题
OC=aOA+bOB ,a+b=1,证明A、B、C共线
答
证明:要证A、B、C共线 ,就是要证:向量AC=λ*向量CB,(其中λ是实数)
即证明:a=1/(1+λ),b=λ/(1+λ),这样点C就是线段AB的分点,即A、B、C共线 .
令,向量AC=λ*向量CB,(其中λ是实数),则有
AC=OC-OA,CB=OB-OC,
而,OC=aOA+bOB,a+b=1,b=(1-a),
aOA=OC-bOB=OC-(1-a)OB,
OA=[OC-(1-a)OB]/a,
OC-OA=λ*(OB-OC)
OC-[OC-(1-a)OB]/a=λOB-λOC,
(a-1)OC/a+(1-a)OB/a=λOB-λOC,
(a-1)/a=-λ,a-1=-λa,
a=1/(1+λ),
b=λ/(1+λ).
则有,
OC=OA/(1+λ)+λOB/(1+λ)
=(OA+λOB)/(1+λ),
即,点C是AB的分点,
A、B、C三点共线.
答
因为a+b=1
所以a=1-b
代入OC=aOA+bOB
得OC=(1-b)OA+bOB
即OC-OA=b（OB-OA）
所以AC=bAB
所以A、B、C共线