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若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 1a+1b的最小值是______．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 16:42:54
问题描述：

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 

1
a
+
1
b
的最小值是______．

答

圆x2+y2+2x-4y+1=0 即 （x+1）2+（y-2）2=4，圆心为（-1，2），半径为 2，
设圆心到直线2ax-by+2=0的距离等于 d，则由弦长公式得 2

 4−d2
=4，d=0，即
直线2ax-by+2=0经过圆心，∴-2a-2b+2=0，a+b=1，
则 
1
a
+
1
b
=
a+b
a
+
a+b
b
=2+
b
a
+
a
b
≥2+2
b
a
•
a
b
=4，当且仅当a=b时等号成立，
故式子的最小值为 4，故答案为 4．
答案解析：先求出圆心和半径，由弦长公式求得圆心到直线2ax-by+2=0的距离d=0，直线2ax-by+2=0经过圆心，可得a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．
考试点：基本不等式；直线与圆相交的性质．
知识点：本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．

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