已知函数f（x）=x2+2x+alnx在（0，1）上单调，则实数a的取值范围是（ ）A. a≥0B. a≤-4C. a≤-4或a≥0D. -4≤a≤0
问题描述：
已知函数f（x）=x2+2x+alnx在（0，1）上单调，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≥0
B. a≤-4
C. a≤-4或a≥0
D. -4≤a≤0
答
求导数可得f′（x）=2x+2+
（x＞0）．a x
∵函数f（x）在（0，1）上单调，
∴f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，或f′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
由2x+2+
≥0，x∈（0，1），可得a≥（-2x2-2x）max，x∈（0，1）．a x
令g（x）=-2x2-2x=−2(x+
)2+1 2
，则g（x）在（0，1）单调递减．1 2
∴g（x）＜g（0）=0．∴a≥0．
由2x+2+
≤0，x∈（0，1），可得a≥（-2x2-2x）min，x∈（0，1）．a x
令g（x）=-2x2-2x=−2(x+
)2+1 2
，则g（x）在（0，1）单调递减．1 2
∴g（x）＞g（1）=-4．∴a≤-4．
综上可得实数a的取值范围是：a≤-4或a≥0
故选C．
答案解析：由函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，或f′（x）≤0在（0，1）上恒成立，分别求其最值可得．
考试点：利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题考查熟练掌握利用导数研究函数的单调性、等价转化、二次函数的性质等是解题的关键，属中档题．