在区间[½,2]上,函数f(x)=x²+px+q与g(x)=2x+2/x在同一点取得相同的最小值,那么q的值是多少

问题描述:

在区间[½,2]上,函数f(x)=x²+px+q与g(x)=2x+2/x在同一点取得相同的最小值,那么q的值是多少

x>0时,x+1/x≥2;仅当x=1/x时(此时x=1),x+1/x=2 .
g(x)=2x+2/x=2(x+1/x),当x=1时,g(x)取得最小值,其最小值为4.
即知f(x)与g(x)的最小值点为(1,4)
f(x)=x²+px+q的最小值点x=-p/2=1,得p=-2
f(x)=x²+px+q的最小值=q-p²/4=4
解得:q=5

因为在区间[½,2]内
g(x)=2x+2/x≥4
此时2x=2/x 即x=1
对于函数f(x)=x²+px+q与g(x)=2x+2/x在同一点取得相同的最小值
所以当x=-p/2=1 即p=-2 时
f(x)min=4q-p²/4=4 q=5