已知a,b,c为正实数且a+b>c,求证a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)
问题描述：
已知a,b,c为正实数且a+b>c,求证a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)
答
不等式两边同时乘以（a+1)(b+1)(c+1)
原不等式变形为a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c)>c(1+b)(1+a)
a(bc+b+c+1)+b(ac+a+c+1)>c(ab+a+b+1)
整理得a+b+2ab+abc>c
由条件a+b>c显然a+b+2ab+abc>c成立
原不等式得证
答
a+b>c
a,b,c>0
=>a+b+2ab+abc>c
=>a+b+2ab+ac+bc+2abc>c+ac+bc+abc
=>(1+c)(a+b+2ab)>c(1+a+b+ab)
=>(a+b+2ab)/(1+a+b+ab)>c/(1+c)
=>[a(1+b)+b(1+a)]/[(1+a)(1+b)]>c/(1+c)
=>a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)
答
考虑函数f(x)＝x/(1＋x)＝1－1/(1＋x)
易知,当x＞0时,f(x)单调递增
∵a＋b＞c
∴f(c)＜f(a＋b)
∴c/(1＋c)＜(a＋b)/(1＋a＋b)＝a/(1＋a＋b)＋b/(1＋a＋b)＜a/(1＋a)＋b/(1＋b)