若a>0,b>0,且a+b=c若a>0,b>0,且a+b=c求证(1) 当r>1时,a^r+b^r

若a>0,b>0,且a+b=c, 求证(1)当r>1时，a^r+b^rc^r
做商法：
(a^r+b^r)/c^r=a^r/c^r+b^r/c^r
=(a/c)^r+(b/c)^r
设f(x)=(a/c)^x+(b/c)^x
因为a>0,b>0,且a+b=c
所以a/c(a/c)^x与(b/c)^x均为正的减函数
故 f(x)=(a/c)^x+(b/c)^x 函数为减函数
(1)当r>1时，a^r+b^rf(r)(a/c)^r+(b/c)^r(a^r+b^r)/c^r所以a^r+b^r(2)当rc^r
f(r)>f(1)=(a/c)+(b/c)=(a+b)/c=1
(a/c)^r+(b/c)^r>1
(a^r+b^r)/c^r>1
所以a^r+b^r>c^r;

(1)当r>1时，a^r+b^rf(r)(a/c)^r+(b/c)^r(a^r+b^r)/c^r所以a^r+b^r(2)当rc^r
f(r)>f(1)=(a/c)+(b/c)=(a+b)/c=1
(a/c)^r+(b/c)^r>1
(a^r+b^r)/c^r>1
所以a^r+b^r>c^r;

a/c+b/c=1
即(a/c)^1+(b/c)^1=1
因为0