设n阶矩阵A满足A^2-2A+2i=0 证明矩阵A-3I可逆,并求(A-3i )^-1
问题描述:
设n阶矩阵A满足A^2-2A+2i=0 证明矩阵A-3I可逆,并求(A-3i )^-1
答
将这个矩阵方程移项
得:A^2-2A-3i=-5i
化简(A-3i)(A+i)=-5i
所以A-3i是可逆阵
它的逆阵是-(A+i)/5
答
A^2-2A+2I=0
A^2-2A+3I=I
(A-3I)(A+I)=I
因此A-3I可逆,且(A-3i )^-1=A+I
答
A^2-2A+2I=0
A^2-3A+A-3I=-5I
A(A-3I)+(A-3I)=-5I
(A+I)(A-3I)=-5I
[-1/5 (A+I)](A-3I)=I
因此-1/5 (A+I)是A-3I的逆矩阵
因此A-3I可逆,(A-3i )^-1=-1/5 (A+I)
答
用E代表单位矩阵,这样比较容易区别
A^2-2A+2E=0
A^2-3A+A-3E=-5E
A(A-3E)+A-3E=-5E
(A+E)(A-3E)=-5E
所以A-3E可逆
且其逆为-(A+E)/5