已知等腰三角形腰上的中线长为3,则该三角形的面积的最大值是 ___ .

问题描述:

已知等腰三角形腰上的中线长为

3
,则该三角形的面积的最大值是 ___ .

根据题意画出图形,如图所示:设AB=AC=2a,由D是AB的中点,得到AD=DB=a,在△ADC中,根据余弦定理得:cosA=a2+4a2-32×a×2a=5a2-34a2,解得a2=35-4cosA,设△ADC的面积为S,则S=12a•2a•sinA=a2sinA=3sinA5-4cosA...
答案解析:根据题意画出图形,如图所示,设出等腰三角形的腰长为2a,根据D为AB中点,得到AD等于a,在三角形ADC中,利用余弦定理表示出cosA,解出a2,然后根据三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积,并设面积为S,对表示出的面积两边求导数,令导函数等于0求出cosA的值,由cosA的值讨论导函数的正负,得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的最大值,且函数取得最大值时cosA的值,由cosA的值和A的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,代入S中即可求出三角形ADC面积的最大值,又因为CD为三角形ABC的中线,所以由三角形ADC面积的最大值得到三角形ABC面积的最大值.
考试点:解三角形.
知识点:此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值,会利用导数求闭区间上函数的最大值,掌握等腰三角形的性质,是一道中档题.