求 数列的 前N项和.（用 错位相减法 ） An=(2n-1)乘3的 n次方
问题描述：
求 数列的 前N项和.（用 错位相减法 ） An=(2n-1)乘3的 n次方
答
设Sn为前n项和
Sn=1*3+3*3^2+...+(2n-1)*3^n
3Sn=1*3^2+3*3^3+...+(2-1)*3^(n+1)
2Sn=（2n-1）*3^(n+1)-2*3^n-2*3^(n-1)-...-2*3^2-3
令Tn=1*3^2+...+1*3^n
3Tn=1*3^3+..+1*3^(n+1)
2Tn=1*3^(n+1)-1*3^2
所以2Sn=(2n-1)*3^(n+1)-2Tn-3
=(2n-1)*3^(n+1)-1*3^(n+1)+1*3^2-3
=(2n-2)*3^(n+1)+6
所以Sn=(n-1)*3^(n+1)+3
所以前n项和为(n-1)*3^(n+1)+3
答
最简单的应用：
1+2 + 4 +…+2^n =S ①
两边同时乘以2（错位相减法基本都会乘上一个特殊因数）
2 + 4 +…+2^n+2^(n+1)=2S ②
②式减 ①式,相等项相抵消,得
S=2^(n+1)-1