如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(6,0),(6,8).动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC,交AC于P,连接MP.已知动点运动了x秒.(1)P点的坐标为多少;(用含x的代数式表示)(2)试求△MPA面积的最大值,并求此时x的值;(3)请你探索:当x为何值时,△MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.

问题描述:

如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(6,0),(6,8).动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC,交AC于P,连接MP.已知动点运动了x秒.

(1)P点的坐标为多少;(用含x的代数式表示)
(2)试求△MPA面积的最大值,并求此时x的值;
(3)请你探索:当x为何值时,△MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.

(1)由题意可知C(0,8),又A(6,0),
所以直线AC解析式为:y=-

4
3
x+8,
因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为6-x,代入直线AC中得y=
4
3
x

所以P点坐标为(6-x,
4
3
x);
(2)设△MPA的面积为S,在△MPA中,MA=6-x,MA边上的高为
4
3
x,
其中,0≤x<6,
∴S=
1
2
(6-x)×
4
3
x=
2
3
(-x2+6x)=-
2
3
(x-3)2+6,
∴S的最大值为6,此时x=3;
(3)延长NP交x轴于Q,则有PQ⊥OA
①若MP=PA,
∵PQ⊥MA,
∴MQ=QA=x,
∴3x=6,
∴x=2;
②若MP=MA,则MQ=6-2x,PQ=
4
3
x,PM=MA=6-x,
在Rt△PMQ中,
∵PM2=MQ2+PQ2
∴(6-x)2=(6-2x)2+(
4
3
x)2
∴x=
108
43

③若PA=AM,
∵PA=
5
3
x,AM=6-x,
5
3
x=6-x,
∴x=
9
4

综上所述,x=2,或x=
108
43
,或x=
9
4

答案解析:(1)P点的横坐标与N点的横坐标相同,求出CN的长即可得出P点的横坐标,然后通过求直线AC的函数解析式来得出P点的纵坐标,由此可求出P点的坐标;
(2)可通过求△MPA的面积和x的函数关系式来得出△MPA的面积最大值及对应的x的值.
△MPA中,MA=OA-OM,而MA边上的高就是P点的纵坐标,由此可根据三角形的面积计算公式求出S与x的函数关系式,进而根据函数的性质得出S的最大值和对应的x的值;
(3)可分三种情况进行讨论:
①MP=AP时,延长NP交x轴于Q,则有PQ⊥OA,那么此时有AQ=BN=
1
2
MA,由此可求出x的值.
②当MP=AM时,可根据MP、AM的不同表达式得出一个关于x的方程即可求出x的值.
③当PA=PM时,可在直角三角形PMQ中,根据勾股定理求出x的值.
综上所述可得出符合条件的x的值.
考试点:二次函数综合题.
知识点:本题着重考查了二次函数的应用、矩形的性质、图形面积的求法等知识点,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.