【高考】已知函数f(x)=axlnx,若m>0,n>0,a>0证明f(m)+f(n)>=f(m+n)-a(m+n)ln2
问题描述：
【高考】已知函数f(x)=axlnx,若m>0,n>0,a>0证明f(m)+f(n)>=f(m+n)-a(m+n)ln2
答
即证：a(mlnm+nlnn)+a(m+n)ln2≥a(m+n)ln(m+n)
化简：mlnm+nlnn+(m+n)ln2≥(m+n)ln(m+n)
即：m[lnm+ln2-ln(m+n)]+n[lnn+ln2-ln(m+n)]≥0
即:mln[2m/(m+n)]+nln[2n/(m+n)]≥0
即：ln[2/(1+n/m)]+(n/m)ln[2/(1+m/n)]≥0
令x=n/m,即证函数：g(x)=ln[2/(1+x)]+xln[2x/(1+x)]≥0
求导可得：g′(x)=-1/(1+x)+ln[2x/(1+x)]+x[1/x-1/(1+x)]
=ln[2x/(1+x)]=0
解得：x=1.
当x≥1时g′(x)≥0,g(x)单调递增；
当x≥1时g′(x)≤0,g(x)单调递减.
所以g(x)最小值是g(1)=0.
所以f(m)+f(n)+a(m+n)ln2≥f(m+n)