已知a、b、c分别为△ABC的三边,且c=2 ,b=√2a,则三角形ABC面积的最大值为?

问题描述:

已知a、b、c分别为△ABC的三边,且c=2 ,b=√2a,则三角形ABC面积的最大值为?

根据海伦公式S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)]
把c=2 ,b=√2a代入化简整理得
S=(1/4)√[128-(a^2-12)^2]
因为c>b-a=(√2-1)a,c所以2√2-2所以,当a=2√3时,S最大
Smax=(1/4)√128=2√2

方法一:设BC=a,则AC=√2a.由余弦定理:cosC=(3a²-4)/2√2a²,∴sinC=√(-a^4+24a²-16)/2√2a² ∴三角形面积=√(-a^4+24a²-16)/4 =√[128-(a²-12)²]/4 ≤√128/4=8√2/4=2√2 ∴...