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证明方程：x的三次+x-1=0有且只有一个正实根

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:21:31
问题描述：

证明方程：x的三次+x-1=0有且只有一个正实根

答

设函数f(x)=x^3+x-1;
反证法：设方程x的三次+x-1=0有两个以上的正实根
,取其中的两个0f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3+x1-x2=(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2+1)f(x1)=0;
f(x2)=0;
f(x1)-f(x2)=0;
两证矛盾；
所以方程只有一个正实根

答

f（x）=x^3+x-1
f'(x)=2x^2+1>0
f(x)单调递增
f(0)=-1
所以x的三次+x-1=0有且只有一个正实根

答

x^3+x-1=0
x(x^2+1)=1
因为x^2+1>=1
所以x为正实根
若存在另两根,则这两根互为相反数,即有负根
矛盾,所以只有一个正实根

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