在△OAB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈(0，π2]，则当△OAB的面积达最大值时，则θ= ___ ．
问题描述：
在△OAB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈(0，
]，则当△OAB的面积达最大值时，则θ= ___ ．π 2
答
知识点：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数学结合的数学思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，是一道中档题．
如图单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，
过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，
则S△OAB=S正方形OMPN-S△OMA-S△ONB-S△ABP
=1-
（sinθ×1）-1 2
（cosθ×1）-1 2
（1-sinθ）（1-cosθ）1 2
=
-1 2
sincosθ=1 2
-1 2
sin2θ1 4
因为θ∈（0，
]，2θ∈（0，π]，π 2
所以当2θ=π即θ=
时，sin2θ最小，π 2
三角形的面积最大，最大面积为
．1 2
故答案为：
π 2
答案解析：根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O，单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，角θ如图所示，所以三角形AOB的面积就等于正方形OMPN的面积减去三角形OAM的面积减去三角形OBN的面积，再减去三角形APB的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积最大时θ所取的值．
考试点：正弦定理．
知识点：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数学结合的数学思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，是一道中档题．