∫sin^(3)x cos^(3)x dx如何求出答案为1/5 cos^(5)x -1/3 cos^(3)x + C计算过程是怎样的?
问题描述：
∫sin^(3)x cos^(3)x dx
如何求出答案为
1/5 cos^(5)x -1/3 cos^(3)x + C
计算过程是怎样的?
答
sin'x=cosx
sin^(3)x cos^(3)x=sin^(2)x cos^(3)x sinx
=[1-cos^(2)x]cos^(3)x sinx
sinxdx=d cosx
设cos=t
即为∫[1-t^2]*t^3dt
好像是，积分公式记不大清了，看意思吧
答
解法一：第一换元法（凑微分法）
∫sin³xcos³xdx
=∫sin²xcos³xsinxdx
=-∫(1-cos²x)cos³xdcosx
=∫cos^(5)xdcosx-∫cos³xdcosx
=cos^(6)x/6-cos^(4)x/4+C
解法二：三倍角公式sin3x=3sinx-4sin³x
∫sin³xcos³xdx
=∫(sinxcosx)³dx
=∫(sin2x/2)³dx
=∫sin³2xdx/8
=∫(3sin2x/4-sin6x/4)dx/8
=3∫sin2xdx/32-∫sin6xdx/32
=3∫sin2xd2x/64-∫sin6xd6x/192
=-3cos2x/64+cos6x/192+C