双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.若双曲线上存在点P使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. （1，2）B. （1，2）C. （1，5+12）D. （1，2+1）
问题描述：
双曲线
-x2 a2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.若双曲线上存在点P使y2 b2
=sin∠PF1F2
sin∠PF2F1
，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）a c
A. （1，
）
2
B. （1，2）
C. （1，
）
+1
5
2
D. （1，
+1）
2
答
由双曲线的定义与几何性质以及正弦定理得，
e=
=c a
=sin∠PF2F1
sin∠PF1F2
=|PF1| |PF2|
=1+2a+|PF2| |PF2|
；2a |PF2|
∵|PF2|＞c-a，即e＜1+
，∴e2-2e-1＜0；2 e−1
又∵e＞1，∴1＜e＜
+1；
2
∴离心率e的取值范围是（1，
+1）．
2
故选：D．
答案解析：由双曲线的定义与几何性质，结合正弦定理，得e=
=1+c a
；2a |PF2|
由|PF2|＞c-a，得e＜1+
，结合e＞1，求出e的取值范围．2 e−1
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题考查了双曲线的定义与性质的应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，解题时可以结合图形进行解答问题，是基础题．