高等代数：求多项式f(x)=x^3+2x^2+2x+1与g(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1的公共根

首先简单尝试发现f(x)有一个根为x=-1, f(x)分解为(x+1)*(x^2+x+1)
通过多项式除法发现g(x)可以分解为(x^2+x+1)*(x^2+1)
所以它们的公共根为2次方程x^2+x+1=0 的2个根。
(2次方程求根公式不用我告诉你了吧。。)

有公共根说明当x=a时有f（a）=g(a),那么就有g(a)-f(a)=0.，所以设函数H（x）=g(x)-f（x）=x^4+x^3+2x^2+x+1-(x^3+2x^2+2x+1)=x^4-x=x(x^3-1).当x=0 或者x=1时有H(x)=0,即f（x）=g(x)

令f（x）=g（x），解方程x^4-x=0得x=0或1

-1/2+i(根号3)/2
因为有公因式x^2+x+1

f(x)=x^3+2x^2+2x+1＝g(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1
x^4-x=0
x(x^3-1)=0
x(x-1)(x^2+x+1)=0
实数根有两个
x=0,x=1