已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(a-x)(a≠0)(1)求证:y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)又若函数y=f(x)的图象在于直线x=b(b≠a)对称,证明函数y=f(x)是周期函数.
问题描述:
已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(a-x)(a≠0)
(1)求证:y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)又若函数y=f(x)的图象在于直线x=b(b≠a)对称,证明函数y=f(x)是周期函数.
答
(1)证明:设P(x,f(x))是y=f(x)上任一点,其关于x=a的对称点P’应为(2a-x,f(x)).∵f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),故P’坐标为(2a-x,f(2a-x))显然在y=f(x)...
答案解析:(1)设y=f(x)上任一点P(x,f(x))得到关于x=a的对称点P’(2a-x,f(x)),根据f(a+x)=f(a-x)验证f(2a-x)=f(x)即可.
(2)根据函数f(x)的图象关于直线x=a、x=b(b≠a)对称,得到f(2a-x)=f(2b-x),然后设y=2b-x,那么f(y)=f[y+2(a-b)]可得答案.
考试点:函数的表示方法.
知识点:本题主要考查函数的性质--对称性的应用.函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性,研究函数一般就从这几个方面入手.