已知,O是△ABC三条角平分线的交点,OD⊥BC于D,若OD=3,△ABC的周长为15,则△ABC的面积是______.

问题描述:

已知,O是△ABC三条角平分线的交点,OD⊥BC于D,若OD=3,△ABC的周长为15,则△ABC的面积是______.

作OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为E、F,连接OA,
∵OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,
∴OD=OE=OF,
∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB
=

1
2
×OD×BC+
1
2
×OE×AC+
1
2
×OF×AB
=
1
2
×OD×(BC+AC+AB)
=
1
2
×3×15
=22.5.
故填22.5.
答案解析:连接OA,作OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为E、F,将△ABC的面积分为:S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB,而三个小三角形的高OD=OE=OF,它们的底边和就是△ABC的周长,可计算△ABC的面积.
考试点:角平分线的性质;三角形的面积.
知识点:此题主要考查角平分线的性质;利用三角形的三条角平分线交于一点,将三角形面积分为三个小三角形面积求和,发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键.