已知数列an中,a1=1,当n大于等于2时,sn=an(1-2/sn).求证1/sn是等差数列
问题描述:
已知数列an中,a1=1,当n大于等于2时,sn=an(1-2/sn).求证1/sn是等差数列
答
证明:Sn=an-(2an)/Sn,则,Sn-1=Sn-an=-2an/Sn
即Sn-1 * Sn = -2an
所以 1/Sn - 1/Sn-1 =(Sn-1 - Sn)/Sn-1*Sn=(-an)/(-2an)=1/2
如有不明白,可以追问
答
n>1时
sn=an(1-2/sn)=(sn-s(n-1))(1-2/sn)=sn-s(n-1)-2+2s(n-1)/sn
整理可得:sn*s(n-1)=2(s(n-1)-sn)
1/sn-1/s(n-1)=(s(n-1)-sn)/sn*s(n-1)=1/2
故1/sn是公差为1/2的等差数列