双曲线x2-y24=1的渐近线被圆x2+y2-6x-2y+1=0所截得的弦长为______．
问题描述：
双曲线x2-
=1的渐近线被圆x2+y2-6x-2y+1=0所截得的弦长为______． y2 4
答
由题得双曲线x2-
=1的渐近线是：y=±2xy2 4
圆x2+y2-6x-2y+1=0的标准方程为：（x-3）2+（y-1）2=9
∴圆心（3，1），半径r=3．
∴（3，1）到直线y=2x的距离d=
＝|2×3−1|
22+1
．
5
故有
＝l 2
＝2，得到弦长l=4；
r2−d2
∵（3，1）到直线y=-2x的距离d=
＝|(−2)×3−1|
(−2)2+1
＞r，此时圆于直线相离．7
5
5
综上得：双曲线x2-
=1的渐近线被圆x2+y2-6x-2y+1=0所截得的弦长为4．y2 4
故答案为：4．
答案解析：求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半径作比较，得出结论，再求弦长即可．
考试点：圆与圆锥曲线的综合．
知识点：本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．考查计算能力以及分类讨论能力．