对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an＝an+1−an(n∈N*)，对自然数k，规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan＝△k−1an+1−△k−1an．（1）若△an=2，a1=1，则a2013=______；（2）若a1=1，且△2an−△an+1+an＝−2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为______．
问题描述：
对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an＝an+1−an(n∈N*)，对自然数k，规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan＝△k−1an+1−△k−1an．
（1）若△an=2，a1=1，则a2013=______；
（2）若a1=1，且△2an−△an+1+an＝−2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为______．
答
（1）∵△an=2，∴d=2，∵a1=1，∴a2013=1+2（2013-1）=4015；（2）∵△2an-△an+1+an=-2n，即△an+1-△an-△an+1+an=-2n，即△an-an=2n，∴an+1=2an+2n，∵a1=1，∴a2=4=2×21，a3=12=3×22，a4=32=4×23，猜想：an...
答案解析：（1）先根据△an=2，根据等差数列的定义判断{△an}为等差数列，即可求出a2013；
（2）根据题中的定义可把已知转化为△an+1-△an-△an+1+an=-2n，整理可得an+1=2an+2n，利用递推关系及a1=1计算a2，a3，a4，然后进行猜想an，再利用数学归纳法进行证明．
考试点：一阶线性差分方程的数学模型．
知识点：本小题以新定义为载体主要考查等差数列的定义的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法．还考查了把新的定义转化为利用所学知识进行求解的能力．