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已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，问F（x）=1/f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明结论．

分类: 作业答案 • 2023-01-20 02:27:53
问题描述：

已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，问F（x）=

1
f(x)
在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明结论．

答

∵y=f（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数且f（x）＜0，
∴在（-∞，0）上f（x）＞0，且单调递减，
则F（x）=

1
f(x)
在（-∞，0）上是增函数．
证明：设x1＜x2＜0，
则F（x1）-F（x2）=
1
f(x1)
−
1
f(x2)
=
f(x2)−f(x1)
f(x1)f(x2)
，
∵在（-∞，0）上f（x）＞0，且单调递减，
∴f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）f（x2）＞0，
则F（x1）-F（x2）＞0，
即F（x1）＞F（x2），
则F（x）=
1
f(x)
在（-∞，0）上是增函数．

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