若直线的倾斜角为α,且满足sinα+cosα=15,则直线的斜率为(  ) A.43 B.−34 C.−43 D.−34或−43

问题描述:

若直线的倾斜角为α,且满足sinα+cosα=

1
5
,则直线的斜率为(  )
A.
4
3

B.
3
4

C.
4
3

D.
3
4
4
3

∵直线L的倾斜角为α,∴直线的斜率k=tanα,
设tan

α
2
=x,则sinα=
2x
1+x2
,cosα=
1−x2
1+x2
,tanα=
2x
1−x2

∵α∈[0°,180°],∴
α
2
∈[0°,90°],
∴tan
α
2
>0,x>0,
∵sinα+cosα=
1
5

2x
1+x2
+
1−x2
1+x2
=
1
5

∴6x2-10x-4=0,
解得x=2,或x=-
1
3
(舍去)
因此tanα=
2x
1−x2
=-
4
3

∴直线的斜率k=tanα=-
4
3

故选C