已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．（1）求a，b的值；（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．
问题描述：
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．
答
⊙⊙
∴f（x）的极大值为f（-2）=13，极小值为f(
)=
，
又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13．
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴
，解得
3+2a+b=3 3-a=1
，
a=2 b=-4
∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-4x+5，
f'（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=0，得x=
或x=-2．2 3
当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：
⊙
| x | ⊙-3 | ⊙（-3，-2） | ⊙-2 | ⊙(-2，
| ⊙
| ⊙(
| ⊙1 | ||||||
| f'（x） | ⊙⊙ | + | ⊙⊙ | - | ⊙⊙ | + | ⊙|||||||
| f（x） | ⊙8 | ⊙增 | ⊙极大值 | ⊙减 | ⊙极小值 | ⊙增 | ⊙4 |
| 2 |
| 3 |
| 95 |
| 27 |
又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13．