如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D、E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,求∠ABC的大小.
问题描述:
如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D、E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,求∠ABC的大小.
答
∵AD⊥BC,BE⊥AC(已知),
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°(垂直定义),
又∵∠AFE=∠BFD(对顶角相等),
∴△AEF∽△BDF(两对对应角相等的两三角形相似),
∴∠FAE=∠FBD(相似三角形的对应角相等),
在△BFD和△ACD中,
,
∠BDA=∠ADC(已证) ∠FBD=∠FAE(已证) BF=AC(已知)
∴△BFD≌△ACD(AAS),
∴BD=AD(全等三角形的对应边相等),
∴∠BAD=∠ABD(等边对等角),
又∵∠ADB=90°(已证),
∴∠ABC=
=45°(三角形的内角和定理).180°−90° 2