证明 1的立方+2的立方+3的立方+^^^+N的立方=(1+2+3+^^^N)的平方

n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1
…………………………
2^4-1^4=4×2^3-6×2^2+4×2-1
1^4-0^4=4×1^3-6×1^2+4×1-1
叠加得
n^4=4(1^3+2^3+……+n^3)-6(1^2+2^2+……+n^2)
+4(1+2+……+n)-n
其中1^2+2^2+……+n^2可用n^3-(n-1)^3叠加求
求出1^3+2^3+……+n^3＝[n(n+1)/2]^2

1的立方+2的立方+3的立方+^^^+N的立方的求法与 1的平方+2的平方+3的平方+^^^+N的平方相似!!
1的立方+2的立方+3的立方+^^^+N的立方=1*1^2+2*2^2+3*3^2+.....+n*n^2
而1的平方+2的平方+3的平方+^^^+N的平方=1*1+2*2+3*3+.....+n*n
=(1*2-1)+(2*3-2)+(3*4-3)+.....+((n-1)*n-(n-1))+(n*(n+1)-n)
={1*2+2*3+3*4+.....+(n-1)*n}-{1+2+3+....+n}
然后用排列组合的方法求出1*2+2*3+3*4+.....+(n-1)*n
=n*(n+1)*(2n+1)/3,而等差数列1+2+3+....+n=n*(n+1)/2
所以1的平方+2的平方+3的平方+^^^+N的平方
=n*(n+1)*(2n+1)/6

1的立方+2的立方+3的立方+^^^+N的立方
=1+(1*2*3+2)+(2*3*4+3)+(3*4*5+4)+......+((n-1)*n*(n+1)+n)
={1*2*3+2*3*4+3*4*5+....+(n-1)*n(n+1)}+{1+2+3+....+n}
同样利用排列组合的方法求出1*2*3+2*3*4+3*4*5+....+(n-1)*n(n+1)
=(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/4,其中n>=2
1的立方+2的立方+3的立方+^^^+N的立方
=(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/4+n*(n+1)/2
=(n+1)*(n+1)*n*n/4
=n*(n+1)/2的平方,而n*(n+1)/2刚好等于1+2+3+^^^N的和
所以.............
读完高中都好几年了,做这道题时,我都是一步一步现做现推出来的!!花了我好几十分钟,心痛哪!!可知宝刀也有会老的时候!!!
希望能让你满意,这道题主要技巧是利用数字的一个特点:N的立方=((n-1)*n*(n+1)+n),还要对排列组合有点了解哦,其他方法肯定有,只是时间有限,不能细想拉,此法可类推,不管是几次方的和,都可搞定!!!

证明这道题可以用数学归纳法
证明如下
当 n=1 命题成立
设n=k 假设 命题 1^3+2^3+3^3+.+k^3=(k(k+1)/2)^2成立
当n=k+1时 1^3+2^3+3^3+.+k^3+(k+1)^3
=(k(k+1)/2)^2+(k+1)^3
= ((k+1)*(k+1+1)/2)^2
综上可知 命题1^3+2^3+3^3+.+k^3=(n(n+1)/2)^2成立

要证 1^3+2^3+…+N^3=(1+2+……+N)^2
而(1+2+……+N)^2=N^2*(N+1)^2/4（等差数列求和公式）
所以只需证明 1^3+2^3+…+N^3=N^2*(N+1)^2/4
用数学归纳法：
当N=1时，显然1=1，命题成立。
假设当N=k时命题成立，即有
1^3+2^3+…+k^3=k^2*(k+1)^2/4，则当N=k+1时
1^3+2^3+…+k^3+（k+1)^3=k^2*(k+1)^2/4+(k+1)^3
=(k+1)^2*[k^2+4(k+1)]/4
=(k+1)^2*(k+2)^2/4
所以命题对任意自然数N都成立。
即有1^3+2^3+…+N^3=(1+2+……+N)^2=N^2*(N+1)^2/4