已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0,3）,与x轴分别交于B（1,0）、C（5,0）两点（1）求此抛物线的解析式（2）若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式（3）若一个动点P自OA的中点出发,先到达x轴上的某点（设为点E）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F）,最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、F的坐标,并求出这个最短路径的长
问题描述：
已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0,3）,与x轴分别交于B（1,0）、C（5,0）两点
（1）求此抛物线的解析式
（2）若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式
（3）若一个动点P自OA的中点出发,先到达x轴上的某点（设为点E）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F）,最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、F的坐标,并求出这个最短路径的长
答
答：
1）
抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0,3）,与x轴分别交于B（1,0）、C（5,0）两点
设抛物线y=a(x-1)(x-5),点A代入得：
5a=3
解得：a=3/5
所以：抛物线为y=(3/5)(x+1)(x-5)
2）
点D是OA=3的三等分点,则点D为（0,1）或者（0,2）
根据截距式可知道DC直线为：
x/5+y=1或者x/5+y/2=1
所以：y=-x/5+1或者y=-2x/5+2
3）
如图所示,作点P关于x轴的对称点P1(0,-3/2)
作点A关于抛物线对称轴x=3的对称点A1(6,3)
连接A1P1交x轴于点E、交对称轴x=3于点F
直线A1P1为：y-3=[(-3/2-3)/(0-6)]*(x-6)
y=3(x-2)/4
所以：点E为（2,0）,点F为（3,3/4)
最短路径的长=A1P1=√[(-3/2-3)^2+(0-6)^2]=15/2
所以：最短路径长为15/2