在ΔABC中,已知(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)×sin(A+B).求证:ΔABC为等腰三角形或直角三角形.

问题描述:

在ΔABC中,已知(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)×sin(A+B).求证:ΔABC为等腰三角形或直角三角形.

将已知等式按照和差角公式展开得到:
(a²+b²)*(sinAcosB-cosAsinB)=(a²-b²)(sinAcosB+cosAsinB)
整理得到:
b²sinAcosB-a²cosAsinB=-(b²sinAcosB-a²cosAsinB)
显然等式左右两边互为相反数,所以等式两边有且只有等于0才能成立,即:
b²sinAcosB=a²cosAsinB
又根据△的正弦定理,有:a/b=sinA/sinB
那么有:sinAsin²BcosB=sin²AcosAsinB
显然A,B≠0,所以sinA≠0,sinB≠0
等式两边消去非零项得到:
sinBcosB=sinAcosA
要使上式成立有且仅有两种情况:
壹:A=B(即△为等腰三角形);
贰:A=90°-B(即△为Rt三角形).