已知抛物线y=(p²-2)x²-4px+q的对称轴是直线x=2,且他的最高点在直线y=1/2x+1上.
已知抛物线y=(p²-2)x²-4px+q的对称轴是直线x=2,且他的最高点在直线y=1/2x+1上.
(1)求这抛物线的关系式?
(2)不改变抛物线的对称轴,将抛物线上线平移,设平移后抛物线的顶点为C,与x轴的两个交点为A(α,0),B(β,0),以点C到x轴的垂线段为直径的圆的面积为S,若(4/π)S=α²+β²,求平移后抛物线的解析式.
先给你介绍两个公式
公式1：设二次函数的解析式是y=ax^2+bx+c ,则二次函数的对称轴为直线x=-b/2a,顶点横坐标为-b/2a,顶点纵坐标为(4ac-b^2)/4a
公式2：设方程为：ax^2+bx+c=0,方程的两个根分别是x1和x2,则x1+x2=-b/a；x1*x2=c/a
（1）根据公式1,对称轴X=-（-4p）/2(p²-2)=2,求得p=-1或者2,
∵他存在最高点 即二次函数开口向下,即a将p=-1带入原关系式,得出y=-x²+4x+q,根据公式1,求出顶点坐标为（2,q+4）,将此坐标带入直线y=1/2x+1上,求出q=-2,∴这抛物线的关系式为y=-x²+4x-2
（2）原抛物线顶点坐标为（2,2）设向上平移的距离为t,则新抛物线的关系式为y=-x²+4x-2+t,新抛物线顶点坐标为（2,t+2）,圆面积s=π(t+2)^2/4,带入(4/π)S=α²+β²,化简得出(t+2)²=α²+β²
∵与x轴的两个交点为A(α,0),B(β,0),α,β即是方程的俩个解,根据公式2得出,α+β=4,αβ=2-t,
原式(t+2)²=α²+β²=(α+β)²-2αβ=16-2(2-t),化简得出t²+2t-8=0,求出t=2或-4,因为是向上平移,t>0,舍去t=-4,即t=2,则新抛物线的解析式为y=-x²+4x