请教一道求极限的题：lim[x->0](xcosx-sinx)/x^3 答案是使用洛必达法则得到-1/3 ,以下是我的做法：

我来试试吧...
LZ是应该是大学生吧...总之,要从根本上来解答的话,必须用到
泰勒公式 和 无穷小的阶数 这两个概念
泰勒展开：cosx=1-1/2!x^2+1/4!x^4-.
sinx=x-1/3!x^3+1/5!x^5-...
于是xcosx-sinx=-1/3x^3+1/30x^5-...
lim(x→0)(xcosx-sinx)/x^3=lim(x→0)[-1/3x^3+1/30x^5-...]/x^3
=lim(x→0)[-1/3x^3]/x^3=-1/3
其中运用了一个等价无穷小...
设a(x),b(x)均为x0处的无穷小,（就是说x→x0,a(x),b(x)→0）
b(x)≠0,若lim(x→x0) a(x)/b(x)=k≠0
则称a(x)与b(x)为同阶无穷小
当k=1时,称a(x),b(x)等价...
若k=0则称a(x)是b(x)的高阶无穷小（理解为更迅速→0,比如x²是x的高阶无穷小）
记为a(x)= o(b(x)),则有lim(x→x0) o(b(x))/b(x)=0
定理：一般地,x→0时,一个无穷小a(x)与它的高阶无穷小(记为) o(a(x)) 之和与a(x)等价
证明：lim(x→x0) [a(x)+o(a(x))]/a(x)=lim(x→x0) a(x)/a(x)+lim(x→x0) o(a(x))/a(x)=1
而在求极限中,等价的无穷小是可以替换的
所以 -1/3x^3+1/30x^5-...可以用 -1/3x^3 来替换
（注意,不是等价无穷小就不能替换）
知识补充好了 我们来看看LZ的问题.
分子分母同除x得到lim[x->0](cosx-sinx/x)/x^2,又因为lim[x->0]sinx/x=1,所以得到
lim[x->0]cosx-1/x^2
错误产生了...LZ直接用 1 替换了 sinx/x,意思就是 1和sinx/x是等价无穷小...是这样吗?
错了...他们都不是无穷小..不能转换
即便要转换,也必须这样cosx-sinx/x~cosx-1 -(sinx/x-1)~cosx-1-0...
也就是说 sinx/x-1是0的等价无穷小...这显然是错误的
退一步说...
cosx-sinx/x和cosx-1 也不是等价无穷小...
cosx-sinx/x -1/3x^2 cosx-1 -1/2x^2
所以cosx-sinx/x不能被cosx-1替换...
产生这个的原因是什么?
原因是 cosx-1 和 sinx/x-1 是等价无穷小...他们都是x²的同阶无穷小..
cosx-1-(sinx/x-1)是多少阶是不能直接确定的,只知道它的阶数不小于2
这里运用cosx-1=-1/2x^2 正好和x^2是同阶无穷小也完全是运气...
所以说..根本原因就是 非等价无穷小的替换导致了 极限的错误