如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.

问题描述:

如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.

证明:延长CF、BA交于点M,
∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,
∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,
∴△BCE≌△CDF,
∴∠CBE=∠DCF.
∵∠DCF+∠BCP=90°,
∴∠CBE+∠BCP=90°,
∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.
又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,
∴△CDF≌△AMF,
∴CD=AM.
∵CD=AB,∴AB=AM.
∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线,
∴AP=

1
2
BM,
即AP=AB.
答案解析:延长CF、BA交于点M,先证△BCE≌△CDF,再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半,可得Rt△MBP中AP=
1
2
BM,即AP=AB.
考试点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

知识点:本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质,本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键.