如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD-A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线...
答案解析：（Ⅰ）先取AA₁的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB₁A₁，则EM⊥面ABB₁A₁，从而BM为直线BE在平面ABB₁A₁上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB₁A₁所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．
（Ⅱ）在棱C₁D₁上存在点F，使B₁F平面A₁BE，分别取C₁D₁和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD₁，FG，因A₁D₁∥B₁C₁∥BC，且A₁D₁=BC，所以四边形A₁BCD₁为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A₁B，从而说明A₁，B，G，E共面，则BG⊂面A₁BE，根据FG∥C₁C∥B₁G，且FG=C₁C=B₁B，从而得到四边形B₁BGF为平行四边形，则B₁F∥BG，而B₁F⊄平面A₁BE，BG⊂平面A₁BE，根据线面平行的判定定理可知B₁F∥平面A₁BE．
考试点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．