如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱C1D1上的动点，F为棱BC的中点． （1）求证：直线AE⊥DA1 （2）求直线DF与平面A1B1CD所成角的正弦值 （3）若E为C1D1的中点，在线段AA1求一点G，使得直线AE⊥平面DFG
问题描述：
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱C1D1上的动点，F为棱BC的中点．
（1）求证：直线AE⊥DA1
（2）求直线DF与平面A1B1CD所成角的正弦值
（3）若E为C1D1的中点，在线段AA1求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．
答
证明：（1）∵A1D⊥D1A，D1A⊥D1E，∴A1D⊥平面D1AE，∵AE⊂平面D1AE，∴A1D⊥AE
（2）设正方体的棱长为2，取CC1的中点M，连接FM交CB1与O，则FO=
2
2
∵C1B⊥B1C，C1B⊥CD∴C1B⊥平面A1B1CD，∵FM∥C1B，∴FM⊥平面A1B1CD
∴∠FDO就是直线DF与平面A1B1CD所成角
在三角形FDO中，sin∠FDO=
=FO FD
=
2
2
5
10
10
（3）存在，G点即为A1点，由（1）可证得AE⊥DA1，取CD的中点H，由DF⊥AH，DF⊥EH
AH∩EH=H，得DF⊥平面AHE，∴DF⊥AE
∵DFA1D=D，∴AE⊥平面DFG