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已知函数f(x)=cos(2x-π3)+sin2x-cos2x． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程； （Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）]2+f（x），求g（x）的值域．

分类: 作业答案 • 2023-01-16 13:04:00
问题描述：

已知函数f(x)=cos(2x-

π
3
)+sin2x-cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）]2+f（x），求g（x）的值域．

答

（Ⅰ）f（x）=

1
2
cos2x+
3
2
sin2x+sin2x-cos2x
=
1
2
cos2x+
3
2
sin2x-cos2x
=sin(2x-
π
6
)
∴周期T=
2π
2
=π，
由2x-
π
6
=kπ+
π
2
(k∈Z)，得x=
kπ
2
+
π
3
(k∈Z)
∴函数图象的对称轴方程为x=
kπ
2
+
π
3
(k∈Z)．
（Ⅱ）g（x）=[f（x）]2+f（x）
=sin2(2x-
π
6
)+sin(2x-
π
6
)
=[sin(2x-
π
6
)+
1
2
]2-
1
4
．
当sin(2x-
π
6
)=-
1
2
时，g（x）取得最小值-
1
4

当sin(2x-
π
6
)=1时，g（x）取得最大值2，
所以g（x）的值域为[-
1
4
， 2]．

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