三角函数已知f(x)=(2cos^4x—2cos²x+1/2)/(2tan(π/4—x)sin²(x+π/4))

问题描述:

三角函数已知f(x)=(2cos^4x—2cos²x+1/2)/(2tan(π/4—x)sin²(x+π/4))
证明:(1)2f(x)=cos2x
(2)若f(x)=2/5,且x∈(0,π/2),证明3tanx=1

证明:2f(x)=(4cos^4x—4cos²x+1)/(2tan(π/4—x)cos²(π/4-x))
=[2cos^2(2x)-1]^2/(2sin(π/4—x)cos(π/4-x))
=(cos2x)^2/sin(π/2-2x)=cos2x
(2)
f(x)=2/5,所以cos2x=4/5
又x∈(0,π/2),所以2x∈(0,π/2),
所以sin2x=3/5,tan2x=3/4
设tanx=m,则m>0,2m/(1-m^2)=3/4
解得m=1/3,所以3tanx=1