已知f(x)=x的平方+(lga+2)x+lgb,f(-1)=--2,当x∈R时f (x)≥2x恒成立1.使g(x)=f(x)/x-4问是否有正实数M<N,在M≤x≤N时,g(x)的值域为[M+2,N+2],若有,请求出 M.N的值,若不存在,请说明理由

问题描述:

已知f(x)=x的平方+(lga+2)x+lgb,f(-1)=--2,当x∈R时f (x)≥2x恒成立
1.使g(x)=f(x)/x-4
问是否有正实数M<N,在M≤x≤N时,g(x)的值域为[M+2,N+2],若有,请求出 M.N的值,若不存在,请说明理由

由f(-1)=--2,代入原方程可得lga-lgb=1或者a=10b
当x∈R时f (x)≥2x恒成立,可得lga的平方减去4lgb小于等于零,结合上调结论可知lga=2
所以可算得g(x)=x+1/x,在第一象限该图像先递减后递增
1.若1≤M≤N,函数递增,故M+1/M=M+2,故M=0.5,矛盾
2.若M≤1≤N,函数先递减后递增,故最小值在x=1处达到,即1+1/1=M+2,M=0,矛盾
3.若M≤N≤1,函数递减,所以M+1/M=N+2,所以M^2+1=MN+2M,同理,N^2+1=MN+2N
两式相减可得,M^2-N^2=2M-2N,移项可得(M-N)(M+N-2)=0,
所以M+N=2,这与M≤N≤1(M+N综上所述,不存在这样的M,N

有条件课知:f(x)与y=2x在(-1,-2)这一点处相切,否则,画个图就知道,存在x,使得f(x)f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2
f'(-1)=-2+(lga+2)=2
联立解得
lga=2
lgb=1
则,f(x)=x^2+4x+1
g(x)=x+1/x
只有如下两种情况:
情况1:
g(M)=M+2
g(N)=N+2
0有唯一解M=N=0.5,不合要求
情况2:
g(M)=N+2
g(N)=M+2
唯一
M=1-sqrt(2)/2 , 记sqrt()为开根号,square root
N=1+sqrt(2)/2
0但是
g(1)=2即,g(x)的值域在(2,3+sqrt(2)/2),不合要求
所以不存在这样的M和N

由f(-1)=-2,得lgb=lga-1,由f (x)≥2x,即x²+(lga)x+lga-1≥0对x∈R恒成立,得△= (lga)²-4(lga-1)=(lga-2)²≤0,所以lga=2,lgb=1,故f(x)=x²+4x+1,g(x)=f(x)/x-4=x+1/x,易知g(x)在(0,1)上递减,在(1,...