为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架,三角形支架形状如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米为了广告牌稳固,要求AC的长度越短越好,求AC最短为多少米?且当AC最短时,BC长度为多少米?

问题描述:

为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架,三角形支架形状如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米为了广告牌稳固,要求AC的长度越短越好,求AC最短为多少米?且当AC最短时,BC长度为多少米?
.当且仅当x-1=3/4(x-1)时取等号,即x=1+√3/2时,y有最小值2+√3..
请老师讲讲

参考答案可能是设BC=x,AC=y,则AB=y-0.5;
应用余弦定理:AB²=BC²+AC²-2BC*AC*cosC,即 (y-0.5)²=x²+y²-2x*y*(1/2);
化简后得到:y=2+(x-1)+3/[4(x-1)];
上列y的表达式中,后两项都是正数(因x>1),该两项的代数和不小于其几何平均数的2倍,即:
(x-1)+3/[4(x-1)≥2*√[(x-1)*3/(4x-4)]=√3;(此不等式一般呈大于号,只有在两加项相等时才取等号)
∴y≥2+√3;
y取最小值时(即取等于号),必有 x-1=3/[4(x-1)],从而得 x-1=√3/2,即 x=1+√3/2=BC;该两项的代数和不小于其几何平均数的2倍,为什么?没学过 a+b≥2√(ab)或a²+b²≥2ab或(a-b)²≥0?等号只可能在a=b才成立吗?算术平均数(a+b)/2,几何平均数√(ab),这两个数都介于a和b之间,各称为a和b一种平均数。