为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架,三角形支架形状如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米为了广告牌稳固,要求AC的长度越短越好,求AC最短为多少米?且当AC最短时,BC长度为多少米?

问题描述:

为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架,三角形支架形状如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米为了广告牌稳固,要求AC的长度越短越好,求AC最短为多少米?且当AC最短时,BC长度为多少米?

设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度
为(y-0.5)米在△ABC中,依余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB
即(y-0.5)2=y2+x2-2yx×

1
2
,化简,得y(x-1)=x2-
1
4

∵x>1,
∴x-1>0
因此y=
x2
1
4
x−1

y=
x2
1
4
x−1
=(x−1)+
3
4(x−1)
+2≥
3
+2
当且仅当x-1=
3
4(x−1)
时,取“=”号,
即x=1+
3
2
时,y有最小值2+
3

答:AC最短为2+
3
米,BC长度为1+
3
2

答案解析:设BC的长度为x米,AC的长度为y米,依据题意可表示出AB的长度,然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式,利用基本不等式求得y的最小值,并求得取等号时x的值.
考试点:解三角形的实际应用.
知识点:本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题.考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力.