如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点． （1）求证：△ADE≌△BCF； （2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长．
问题描述：
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长．
答
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC
∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（两直线平行，内错角相等）
∴∠OCB=∠OBC
∴∠DAE=∠CBF
又∵AE=
OA，BF=1 2
OB1 2
∴AE=BF
∴△ADE≌△BCF；
（2）过点F作FG⊥CD于点G，
∴∠DGF=90°
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°
∴∠DGF=∠DCB
又∵∠FDG=∠BDC
∴△DFG∽△DBC
∴
＝FG BC
＝DF DB
DG DC
由（1）可知F为OB的中点，
所以DF=3FB，得
＝DF DB
3 4
∴
＝FG 4
＝3 4
DG 8
∴FG=3，DG=6
∴GC=DC-DG=8-6=2
在Rt△FGC中，CF＝
＝
FG2+GC2
＝
9+4
cm．
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（说明：其他解法可参照给分，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）