1.求方程 y''*(1+y^2)=2y*y'^2的通解 2.方程 y^3*y''+1=0 的通解

1.设p=y'=dy/dx
则y''=d(y')/dx=dp/dx=(dp/dy)*(dy/dx)=p*(dp/dy)
∴原方程化为：
p*(dp/dy)*(1+y^)=2y*p^
p=0或(1/p)dp=[2y/(1+y^)]dy
若p=0成立,则有y'=0,y=C,此为方程通解的一部分；
当(1/p)dp=[2y/(1+y^)]dy成立时：
∫dp/p = ∫d(1+y^)/(1+y^)
lnp = ln(1+y^) + C
p=C1*(1+y^)
即dy/dx=C1*(1+y^)
dy/(1+y^) = C1*dx
∫dy/(1+y^) = C1∫dx
arctany=C1x+C2
y=tan(C1x+C2)
∴原方程的两组通解分别为:y=C,以及y=tan(C1x+C2)
2.和上一题一样,同样设p=y'=dy/dx
∴y''=p*dp/dy
于是原方程化为：
(y^3)*p*dp/dy + 1=0
p*dp = -dy/(y^3)
∫p*dp=∫[-y^(-3)]*dy
p^/2 = y^(-2)/2 + C
p^=C1 + (1/y^)
p^= (C1y^+1)/y^
p=±[√(C1y^+1)/y]
即dy/dx = ±[√(C1y^+1)/y]
[y/√(C1y^+1)] *dy=±dx
∫(1/C1)*d(C1y^+1)/[2√(C1y^+1)] =±∫dx
(1/C1)*√(C1y^+1)= ±x + C3
C1y^+1=(C1*C3±C1x)^
y^= [(C2±C1x)^-1]/C1
这样就可以了,如果一定要写出"y="的形式,那就是：
y=±√{[C2±C1x]^-1]/C1}