设X上的关系R满足对称性与传递性,问R是否一定满足自反性,并说明理由

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• 例题：R是集合X上的一个自反关系,求证：R是对称和传递的,当且仅当 和在R中有在R中.例题：设R1,R2为集合A中的两个等价关系,且R1 R2=R2 R1,试证R1 R2也是A上的等价关系.证明：1）自反性（略）2）对称性（略）3）传递性：如果 ,则 又 ,所以 ,所以 再由 及 是传递的,得 ,再由 知 ,所以 ,所以 ,再由 及 是传递的,得 ,又 ,所以 例题：设R是集合A上的自反、传递的二元关系,又设T也是A上的二元关系,且满足：.求证：T是A上的等价关系.
• 空集上的空关系设A为集合,R为A上的二元关系.任取x,如果只要x属于A就有属于R成立,则称关系R在A上具有自反性.那么空集上的空关系是否具有自反性呢?如果A为空集的话,则不存在x属于A,就找不到属于A的x使得不属于R,所以空集上的空关系不是一定满足自反性吗?补充一：某些书上说非空集合A上的空关系是偏序关系,如果不正确那空集上的空关系是不是偏序关系呢?补充二：关系的闭包的定义是：设R是 非空集合A 上的关系,在关系R中,可能有或无性质P,如自反(r),对称(s),传递(t),若存在包含R,满足性质P的关系S,使得S是所有包含R,满足P的关系的子集,那么称S是R关于P的闭包（有时这样的闭包不存在）.该定义中为什么规定集合A是非空的?
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