根据数列极限证明时N怎么取?

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• 数列极限的一道简单证明题数列{a（2n）},{a(2n-1)}的极限都为a,求证：{an}的极限也为a.证明：对于任意的ε＞0,存在正整数N1,当n＞N1时,|a(2n)－a|＜ε 对于上面给出的ε＞0,存在正整数N2,当n＞N2时,|a(2n－1)－a|＜ε 取正整数N＝max{2N1,2N2－1},则n＞N时,|an－a|＜ε 所以,数列an的极限是a.为什么N取max(2N1,2N2-1)时,对于n>N ,才能满足|an－a|＜ε?这2N1跟2N2-1是怎么来的?再一次劳烦了,
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• 柯西中值定理的证明在看证明时有一个地方不明白 在证拉格郎日定理时构造的辅助函数值一看两个端点f(a),f(b)就知道等于0了（因为两端点连线和原函数相交）证柯西中值定理时没给出图象 但根据条件只要第二个函数导数不为0其他什么形状都可以 也就是说在[a,b]区间内两个函数有可能没有交点 也就是说辅助函数（第一个函数减第二个函数）的两端点值不为0 .可是罗尔定理能运用的要求就是端点值为0 就是这个地方不明白 课本上是用表示有向线段MN的值的函数作为辅助函数的,点M的纵坐标是y=f(x),点N的纵坐标我自己在证明时写成了y=F(a)+[F(a)-F(b)]/(b-a)[F(x)-a] ,这样证出来的还是拉格郎日中值定理，书上的证明N点的纵坐标是y=f(a)+[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)][F(x)-F(a)] ,为什么 N点明明只在第二个函数F(x)上 怎么会和f(x)扯上关系了，连边都不沾这个纵坐标是怎么写出来的
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