如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)已知CD=4cm,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.

问题描述:

如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.

(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.

(1)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DE=CD=4cm,
又∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC,
又∵∠C=90°,
∴∠B=∠BDE=45°,
∴BE=DE=4cm.
在等腰直角三角形BDE中,由勾股定理得,BD=4

2
cm,
∴AC=BC=CD+BD=4+4
2
(cm).
(2)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴∠ADE=∠ADC,
∴AC=AE,
又∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.