设A是n阶正定矩阵,求证:存在n阶可逆矩阵P使得A=PtP
问题描述：
设A是n阶正定矩阵,求证:存在n阶可逆矩阵P使得A=PtP
答
A是n阶正定矩阵.∴A的特征值全部是正数：λ1,λ2,……λn
存在正交矩阵Q [Q^﹙-1﹚＝Q'] 使Q'AQ＝diag﹙λ1,λ2,……λn﹚
而diag﹙λ1,λ2,……λn﹚＝diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚×diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚
A＝Qdiag﹙λ1,λ2,……λn﹚Q'
＝[Qdiag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚]×[diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚Q']
取P＝diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚Q' [显然可逆]
则A＝P'P