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已知函数f（x）=（1/2x−1+1/2）x3． （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性； （3）证明 f（x）＞0．

分类: 作业答案 • 2023-01-13 14:23:30
问题描述：

已知函数f（x）=（

1
2x−1
+
1
2
）x3．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）证明 f（x）＞0．

答

（1）由函数的解析式可得 2x-1≠0，解得x≠0，故函数的定义域为 {x|x∈R，且 x≠0}．
（2）显然函数的定义域关于原点对称，f（-x）=（

1
2−x−1
+
1
2
）（-x）3=（
2x
1−2x
+
1
2
）（-x）3 
=（
2x−1+1
1−2x
+
1
2
）（-x）3
=（-1+
1
1−2x
+
1
2
）（-x）3=-（
1
2x−1
+
1
2
）（-x）3=（
1
2x−1
+
1
2
）x3 =f（x），
故函数f（x）为偶函数．
（3）当x＞0时，
1
2x−1
+
1
2
＞
1
2
，x3＞0，∴函数f（x）=（
1
2x−1
+
1
2
）x3 ＞0．
当x＜0时，
1
2x−1
＜-1，
1
2x−1
+
1
2
＜0，x3＜0，∴函数f（x）=（
1
2x−1
+
1
2
）x3 ＞0．
综上可得，f（x）＞0．

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