如图,D、E是等边△ABC两边上的点,且AD=CE,连接AE、BD相交于点P.(1)求证:△ABD≌△CAE;(2)以AB为直径作半圆交AE于点Q,试求PQBP的值.
问题描述:
如图,D、E是等边△ABC两边上的点,且AD=CE,连接AE、BD相交于点P.
(1)求证:△ABD≌△CAE;
(2)以AB为直径作半圆交AE于点Q,试求
的值. PQ BP
答
(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAD=∠C=60°,
在△ACE和△BAD中,
,
AB=AC ∠BAD=∠ACE AD=CE
∴△ABD≌△CAE(SAS);
(2)连接QB,
∵AB为直径,
∴∠AQB=90°,
∵△ABD≌△CAE,
∴∠CAE=∠ABD,
∴∠QPB=∠PAB+∠ABD=∠PAB+∠CAE=∠CAB=60°,
在Rt△PBQ中,∠PQB=90°,∠QPB=60°,
∴
=cos∠QPB=cos 60°=PQ BP
.1 2
答案解析:(1)由于△ABC为等边三角形,那么AB=AC,∠BAD=∠C=60°,而AD=CE,利用SAS可证△ABD≌△CAE;
(2)连接QB,由于AB是直径,那么∠AQB=90°,又△ABD≌△CAE,那么∠CAE=∠ABD,利用角之间的加减,易求∠QPB=60°,进而可求
.PQ BP
考试点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;圆周角定理;特殊角的三角函数值.
知识点:本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、特殊三角函数值,解题的关键是证明△ABD≌△CAE,求出∠QPB.