已知△ABC的三个内角为A,B,C,所对的三边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S=a^2-(b-c)^2,则tanA/2等于A.1/2 B.1/4 C.1/8 D.1
问题描述：
已知△ABC的三个内角为A,B,C,所对的三边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S=a^2-(b-c)^2,则tanA/2等于
A.1/2 B.1/4 C.1/8 D.1
答
选择B。由余弦定理将面积式中的a^2代换得：S三角形A B C＝2b c(1－余弦A)。由三角形面积公式S＝1/2c b正弦A，两式联立可得：正弦A/(1－余弦A)=4，由二倍角公式对上下化简可得选择B。
答
S=a^2 -（ b-c）^2
=a^2-b^2-c^2+2bc
=-(b^2+c^2-a^2-2bc)
=-(cosA*2bc-2bc)
=2bc(1-cosA)
又因为S=1/2 bc sinA
则有 2bc(1-cosA)=1/2 bc sinA
4（1-cosA)=sinA
(1-cosA)/sinA=1/4
根据公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA
tan(A/2)=1/4
答
S = a^2-(b-c)^2 = a^2-b^2-c^2 + 2bc = -2bc*cosA + 2bc = 4bc*[sin(A/2)]^2
S = bc*(sinA)/2
==> 4bc*[sin(A/2)]^2 = bc*(sinA)/2 = bc*sin(A/2)cos(A/2)
==> tan(A/2) = 1/4
正余弦定理的应用