设m,k为整数,方程mx2-kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根,则m+k的最小值为(  ) A.-8 B.8 C.12 D.13

问题描述:

设m,k为整数,方程mx2-kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根,则m+k的最小值为(  )
A. -8
B. 8
C. 12
D. 13

设f(x)=mx2-kx+2,由f(0)=2,易知f(x)的图象恒过定点(0,2),
因此要使已知方程在区间(0,1)内两个不同的根,即f(x)的图象在区间(0,1)内与x轴有两个不同的交点
即由题意可以得到:必有

m>0
f(1)=m−k+2>0
0<
k
2m
<1
△=k2−8m>0
,即
m>0,k>0
m−k+2>0
2m−k>0
k2−8m>0

在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域,
如图所示,设z=m+k,则直线m+k-z=0经过图中的阴影中的整点(6,7)时,
z=m+k取得最小值,即zmin=13.
故选D.